Твърдение за семантична еднозначност на резултата от прилагане на субституция към формула. При всеки избор на субституцията σ и на формулата φ формулите от множеството σ*φ са еквивалентни помежду си.

      Доказателство. Нека са дадени субституция σ и формула φ. По теоремата за стойността на резултат от прилагане на субституция, при произволни дадени структура S и оценка v в нея, за всяка формула χ от множеството σ*φ имаме равенството

      Следствие. За всяка формула φ формулите от множеството ι*φ са еквивалентни на φ.

      Доказателство. Използваме, че φ принадлежи на ι*φ  _□

      С помощта на горното следствие ще получим едно твърдение, което е полезно при някои преобразования на формули.

      Лема за преименуване на свързана променлива. Нека ξ и ξ′ са променливи, а φ и φ′ са формули, като ξ′ не е свободна променлива на φ, а φ′ принадлежи на множеството [ξ/ξ′]φ. Тогава

      Доказателство. Формулите ∀ξ′φ′ и ∃ξ′φ′ принадлежат съответно на ι*∀ξφ и ι*∃ξφ, понеже [ξ/ξ′] = ι_ξ/ξ′.  _□

      За една формула χ ще казваме, че е частен случай на дадена формула φ, ако χ е резултат от прилагане на някоя субституция към φ, т.е. χ принадлежи на σ*φ при някой избор на субституцията σ (понеже φ винаги принадлежи на ι*φ, ясно е, че всяка формула е частен случай на самата себе си). Налице са следните връзки между тъждествена вярност на една формула и тъждествена вярност на нейни частни случаи, както и между изпълнимост на една формула и изпълнимост на нейни частни случаи.

      Запазване на тъждествената вярност при преминаване от формула към неин частен случай. Ако една формула φ е тъждествено вярна в дадена структура S, то всички частни случаи на φ са тъждествено верни в S.

      Доказателство. Нека χ е частен случай на формула φ, която е тъждествено вярна в дадена структура S. Тогава χ принадлежи на σ*φ за някоя субституция σ и за всяка оценка v в S ще имаме

      Следствие. Ако една формула е тъждествено вярна, то всички нейни частни случаи са тъждествено верни.

      Запазване на изпълнимостта при преминаване от частен случай на формула към самата нея. Ако някой частен случай на една формула φ е изпълним в дадена структура S, то φ е изпълнима в S.

      Доказателство. Нека една формула φ има частен случай χ, който е изпълним в дадена структура S, т.е. χ^S,v = 1 за някоя оценка v в S. Формулата χ принадлежи на σ*φ за някоя субституция σ и това дава

      Следствие. Ако една формула има изпълним частен случай, то тя е изпълнима.

      Ако универсално затваряне на една формула φ е вярно в дадена структура S, то φ е тъждествено вярна в S и значи всички частни случаи на φ са тъждествено верни в S. Ако пък частен случай на една формула е изпълним в дадена структура S, то и самата формула е изпълнима в S и значи кое да е нейно екзистенциално затваряне е вярно в S. Това показва, че от универсално затваряне на една формула следва всеки частен случай на формулата. а от частен случай на формулата следва кое да е нейно екзистенциално затваряне. Тези твърдения допускат следното усилване.

      Закони за универсална и за екзистенциална конкретизация. Нека φ е формула, ξ₁, …, ξ_k , където k≥1, са променливи, които при k>1 са две по две различни, θ₁, …, θ_k са термове и χ е формула от множеството [ξ₁/θ₁,…,ξ_k/θ_k]*φ. Тогава

      Доказателство. Нека S е произволна структура, а v е някоя оценка в нея. Имаме равенството χ^S,v = φ^S,v′, където v′ = [ξ₁/θ₁,…,ξ_k/θ_k]^S(v). Полагайки d_i = θ_i^S,v, i=1,…,k, можем да представим оценката v′ във вида v′ = v[ξ₁→d₁]…[ξ_k→d_k]. Ако формулата ∀ξ₁…∀ξ_k φ е вярна в структурата S при оценката v, то току-що отбелязаното представяне на оценката v′ позволява да заключим, че формулата φ е вярна в S при оценката v′ и следователно χ е вярна в S при оценката v. Ако пък χ е вярна в S при оценката v, то φ е вярна в S при оценката v′ и, използвайки същото представяне на оценката v′, можем да заключим, че и формулата ∃ξ₁…∃ξ_k φ е вярна в S при оценката v. Поради произволността на S и v с това доказателството е завършено.  _□

Последно изменение: 25.01.2007 г.