Съдържание 
 

АТОМАРНИ ФОРМУЛИ

      Нека е дадена една сигнатура Σ. Атомарни формули в сигнатура Σ ще наричаме нулместните предикатни символи на Σ и думите от вида π(τ1,…,τm), където m е положително цяло число, π e m-местен предикатен символ на Σ и τ1, …, τm са термове в сигнатура Σ. В съгласие със забележка 3 от текста "Сигнатури и структури" атомарните формули в сигнатура Σ ще наричаме по-кратко атомарни формули. Очевидно всяка атомарна формула е дума над разширението на основната азбука, получено чрез добавяне на двете кръгли скоби и запетаята.

      Пример 1. Ако Σ е сигнатурата от примера в текста "Сигнатури и структури", то думите 

positive(x),
positive(difference(difference(x,x),x))),
positive(difference(x,y)) 
са атомарни формули.

      Разбира се съществуването на поне един предикатен символ на Σ е необходимо и достатъчно условие за съществуването на поне една атомарна формула в сигнатура Σ.

      И дефиницията за атомарна формула осигурява еднозначност на прочита. Двата случая в тази дефиниция се изключват взаимно, защото в първия случай атомарната формула се състои само от знаци, принадлежащи на основната азбука, а във втория не е така. Във втория случай предикатният символ π, числото m и термовете τ1, …, τm се определят еднозначно по атомарната формула. Действително, в този случай π е най-дългото измежду онези начала на думата π(τ1,…,τm), на които всички знаци са от основната азбука, значи въпросната дума определя еднозначно кой е предикатният символ π, а следователно също кое е числото m и коя е думата τ1,…,τm. От въпроса "Термове и еднозначност на прочита им" знаем обаче, че последната дума определя еднозначно кои са термовете τ1, …, τm.

      Като се използва, че множеството на предикатните символи няма общи елементи нито с множеството на функционалните символи, нито с множеството на променливите, лесно се съобразява още, че никоя атомарна формула не е терм.

      Ако разглежданата в дефиницията атомарна формула е φ, то във втория случай на дефиницията ще означаваме с VAR(φ) и с CONST(φ) съответно обединението на множествата VAR(τ1), …, VAR(τm) и обединението на множествата CONST(τ1), …, CONST(τm), а в първия случай приемаме, че множествата VAR(φ) и CONST(φ) са празни. Ясно е, че и в двата случая множествата VAR(φ) и CONST(φ) са крайни. Елементите на множеството VAR(φ) ще наричаме променливи на атомарната формула φ, а елементите на множеството CONST(φ)  -  нейни константи.

      Пример 2. При първата и при втората формула от пример 1 множеството на променливите е едноелементно с единствен елемент x, а третата формула има множество на променливите {x,y}. Всяка от трите формули е с празно множество на константите.

      Ще казваме, че една атомарна формула φ е затворена, когато множеството VAR(φ) е празно. Разбира се, ако за φ е налице първият случай от дефиницията, то φ е затворена, а във втория случай φ е затворена точно тогава, когато е затворен всеки от термовете τ1, …, τm. Понеже всеки затворен терм има поне една константа, ясно е, че когато за една атомарна формула е налице вторият случай и тя е затворена, тази формула има поне една константа. Значи когато сред предикатните символи на сигнатурата Σ няма нулместни, всяка затворена атомарна формула има поне една константа. Следователно ако една сигнатура няма нито константи, нито нулместни предикатни символи (както е в разгледаните по-горе примери), то не съществуват затворени атомарни формули в тази сигнатура.
 

Последно изменение: 9.01.2007 г.