Previous  Next  Contents

 

ПРЕДИКАТНО СМЯТАНЕ С РАВЕНСТВО

    В повечето от математическите теории наред с други математически понятия играе роля и понятието равенство. Равенството е едно отношение между обекти на теорията, на което свойствата могат да се опишат в подходящ вариант на предикатното смятане, наречен предикатно смятане с равенство (досегашното предикатно смятане ще наричаме общо предикатно смятане).

    Можем да считаме, че езикът на предикатното смятане с равенство е същият, както на общото предикатно смятане, но при условие, че множеството на двуместните предикатни символи не е празно и сред тях е избран един, който ще наричаме символ за равенство и ще означаваме с eq (aтомарна формула от вида eq(t,tў), където t и tў са термове, ще записваме още и във вида (t=tў)). За всяко множество C ще разглеждаме съответния двуместен предикат EqC в C, дефиниран така:

EqC(c,cў)   =  {  1,   ако c=cў,
0   в противен случай,
Предиката EqC ще наричаме предикат за равенство в C. Една структура S=(C,I) ще наричаме нормална, ако I(eq)=EqC. Една конфигурация (S,v) ще наричаме нормална, ако е нормална структурата S.

    Редица понятия, които въведохме за общото предикатно смятане, като използвахме произволни структури, имат свои аналози за предикатното равенство с равенство, дефинирани по подобен начин, но с използването само на нормални структури. Например на досегашното понятие тъждествено вярна формула ще съответства понятието тъждествено вярна формула на предикатното смятане с равенство - то ще означава формула, която е тъждествено вярна във всяка нормална структура. Аналогично стоят нещата с понятията за следване на една формула от друга и за еквивалентност на две формули в предикатното смятане с равенство. Подобно е положението и с понятието изпълнимост - едно множество M от затворени формули ще наричаме изпълнимо в предикатното смятане с равенство, ако съществува нормална структура, в която са верни всички формули от M, а всяка такава структура ще наричаме модел на M в предикатното смятане с равенство. Работейки с нормални конфигурации вместо с нормални структури, по аналогичен начин дефинираме понятието изпълнимост и за множество от какви да е (не непременно затворени) формули.

    Разбира се, всяка формула, която е тъждествено вярна в общото предикатно смятане, ще бъде тъждествено вярна и в предикатното смятане с равенство. Като пример за това, че обратното не е вярно, може да послужи формулата eq(x,x), където x е някоя променлива.

    Ще изброим някои затворени формули, тъждествено верни в предикатното смятане с равенство, които ще наричаме аксиоми на равенството (тъждествената им вярност се проверява чрез директно прилагане на нужните дефиниции). Това са формулите от следните пет вида (за краткост и за по-голяма интуитивна яснота сме ги записали с използване на знак за равенство вместо с използване на символа eq, който те фактически съдържат):
    1) "x(x=x), където x е коя да е променлива;
    2) "x"h((x=h)®(h=x)), където x и h са различни помежду си променливи;
    3) "x"h"z((x=h)&(h=z)®(x=z)), където x, h и z са различни помежду си променливи;
    4) "x1..."xn"h1..."hn((x1=h1)&...&(xn=hn)®(w(x1,...,xn)=w(h1,...,hn))), където n>0, wОWn и x1, ..., xn, h1,..., hn са различни помежду си променливи;
    5) "x1..."xn"h1..."hn((x1=h1)&...&(xn=hn)&p(x1,...,xn)®p(h1,...,hn)), където n>0, pОPn, p№eq и x1, ..., xn, h1,..., hn са различни помежду си променливи.

    Формулите от първите три вида се наричат съответно аксиоми за рефлексивност, за симетрия, за транзитивност, а формулите от последните два вида се наричат аксиоми за замяна. Конкретният избор на променливите във всяка една от изброените формули не е съществен - ако вместо едни променливи изберем други, ще получим формула, еквивалентна на дадената в общото предикатно смятане, а следователно и в предикатното смятане с равенство (еквивалентността може да се докаже с помощта на теоремата за преименуване на свързани променливи).

    Забележка. Формулите от петия вид, които биха се получили при p=eq, имат вида

"x1"x2"h1"h2((x1=h1)&(x2=h2)&(x1=x2)®(h1=h2)).
Те също са тъждествено верни в предикатното смятане с равенство, но не се причисляват към аксиомите на равенството, защото следват от аксиомите за симетрия и за транзитивност.

 

Последно изменение: 9.09.1999 г.

 Previous  Next  Contents