Тема 11
Ергодична теория

Ергодичността е понятие, възникнало естествено от проблема за статистическо оценяване на процес по редица от наблюдения.

Разглеждаме строго стационарния процес {x_t,t О R }. Имаме данни за x в моментите 1,2,ј,n,ј. По тези данни трябва да се оцени, например, E x₀. Средната стойност по времето

Оказва се, че за много процеси (не ергодичните) не е изпълнено

В началото на тази лекция въвеждаме понятията ендоморфизъм на вероятностно пространство. Дефинирана е ергодичност на ендоморфизъм и е доказана ергодичната теорема на Биргкхоф-Хинчин.

В края на лецията са разгледани примери и приложения, които показват фундаменталността на свойството ергодичност.

11.1  Преобразования с инвариантна вероятност

Разглеждаме основното вероятностно пространство < W, F ,Pr > .

Определение 1 Даден е оператора T:W ® W. Ако

1. T е измерим, т.е. T^-1 A О F , за всяко A О F ;

2. Pr( T^-1 A) = Pr(A), за всяко A О F ,

то T се нарича ендоморфизъм на вероятностното пространство.

Определение 2 Ако ендоморфизмът T е п.с. обратим и обратното преобразование T^-1 е също ендоморфизъм, то той се нарича автоморфизъм.

Базисното значение на понятието ендоморфизъм (или автоморфизъм) се определя от факта, че за всеки стационарен процес shift-операторът е ендо-(или авто-)морфизъм.

Примери Нека ј,X_-1,X₀,X₁,X₂,ј,X_n,ј е строго стационарен процес с дискретно време Z . Той поражда мярка Pr_X върху пространството от безкрайни редици < R ^Z , B( R ^Z ) > . Да разгледаме shift-оператора

Ако A О F е цилиндрично множество A = C(t₁,ј,t_n;B), то T^-1A = C(t₁-1,ј,t_n-1;B) и тогава от стационарността

В случая T е обратим и следователно е автоморфизъм. ^[¯]

Определение 3 Нека в основното вероятностно пространство е зададен ендоморфизъм T. Ако за измеримото множество A е изпълнено Pr(TADA) = 0, то A се нарича T-инвариантно.

Лема 1 Съвкупността от инвариантните множества образува T-инвариантната s-алгебра

Доказателство.Достатъчно е да проверим аксиомите за булева алгебра и да се възползуваме от непрекъснатостта на вероятността в Ж. Да означим с r(A,B) = Pr(ADB). Знаем, че r е разстояние. Нека A, B са T- инвариантни. Тогава,

Определение 4 Ако една случайна величина x е \mathfrak I _T-измерима, то тя се нарича T-инвариантна.

Лема 2 Ако x е T-инвариантна, то

Доказателство. ^[¯]

11.2   Ергодична теорема

Определение 5 [Ергодичност] Казваме, че един ендоморфизъм T е ергодичен, ако неговата инвариантна s-алгебра \mathfrak I _T е тривиална, т.е.

Лесно се вижда, че ако T е ергодичен и x е \mathfrak I _T-измерима, то x е Pr-п.с. константа. Обратното, очевидно, също е вярно. Ако всяка T-инвариантна случайна величина x е п.с. константа, то T е ергодичен.

Лема 3 [Основна ергодична лема] Нека x е случайна величина, а T е ендоморфизъм в основното вероятностно пространство. Определяме S₁(w) = x(w), S₂(w) = x(w)+x(T(w)), ј,

Доказателство.

Нека F(w) =
max
0 Ј k Ј n 
S_k(w), където S₀ = 0. Очевидно за w О E имаме F(w) і 0 и F(w) = 0, за w О [`(E)]

Теорема 1 [Биргкхоф-Хинчин] Нека x има крайно очакване и T е ендоморфизъм. Тогава

По-точно x_inv = E (x| \mathfrak I _T).

Доказателство.
Да допуснем противното, т.е. {¹/_n S_n } не е п.с. сходяща. Тогава съществуват a < b, такива, че събитието

Събитието X е T-инвариантно (вж. задача 2) и Pr(X) > 0. Тъй като X е T-инвариантно, то ограниченията на всички случайни величини върху X при действието на T остават ограничени върху X (т.е. с дефиниционна област X). Следователно можем да се ограничим във вероятностното пространство < X, F \upharpoonright_X,Pr(·|X) > , като на всички разглеждани величини съпоставяме техните ограничения.

Нека h = x\upharpoonright_X-b и h_n(·) = h(T^°n-1(·)) -b = x_n\upharpoonright_X(·)-b, тогава според основната ергодична лема (11.3)

Очевидно E_n Н E_n+1, а непосредствено от определенията за събитията E_n и X имаме И_{n = 1}^Ґ E_n = X.

Съвсем аналогично, ако z_n = a-x_n\upharpoonright_X и F_n = {
max
1 Ј k Ј n 
¹/_k(z₁+ј+z_k) > 0} имаме

Следователно едновременно са изпълнени неравенствата

Нека x_inv е граничната случайна величина. Ще покажем, че x_inv е интегруема и E (x| \mathfrak I _T) = x_inv. Това показва, че границата на средните ¹/_nS_n най-близката до x T-инвариантната случайна величина.

Нека, първо, x е ограничена. Тогава редицата {¹/_nS_n} е равномерно ограничена и според теоремата на Лебег за мажорираната сходимост x_inv е интегруема с E x_inv = E x.

Нека x^* = E (x| \mathfrak I _T) тогава за произволно T-инвариантно множество B

Ако x не е ограничена можем да разгледаме достатъчно добро ограничено приближение на x и да приложим доказаното. ^[¯]

Задачи
1. T е ендоморфизъм, а x- произволна случайна величина. Докажете, че

^[¯]

11.3   Примери и приложения

Следствие 1 Ако T е ергодичен, то за всяка интегруема сл. вел. x съответната \'и x_inv = E x = const. Това означава, че е в сила законът за големите числа за случайните величини x_n(w) = x(T^°n-1(w)).

Когато условие 2. в определение 11.1 се отслаби в смисъл, че двете вероятности стават само едновременно различни от (или равни на) 0, преобразованието се нарича слаб ендоморфизъм или преобразование с квази-инвариантна вероятност.

Примери Нека вероятностното пространство е реалната права с бореловата s-алгебра и вероятността е зададена с плътността f(x) на стандартното нормално разпределение. Да разгледаме преобразованието T(x) = x+а. То очевидно е слаб автоморфизъм. ^[¯]

Въпросът кога за един слаб ендоморфизъм съществува вероятност, относно която той става истински ендоморфизъм, е базисен за теорията на случайните процеси, в частност на марковските процеси. В горния пример това не може да стане.

---

Начало на лекцията | Съдържание