Тема 2
Брауново движение и Винеров процес

В тази лекция се разглежда винеровия процес, като описание на брауновото движение. Даден е неформален извод на плътността на процеса на брауново движение която съвпада с плътността на винеровия процес.

Показва се, че винеровия процес има недиференцируеми траектории. Дадено е неформално въведение във винеровите стохастични интеграли.

Доказана е характеризационна теорема за винеровия процес в многомерния случай.

2.1  Брауново движение. Уравнение на Ланжевен

Нека с Xt да означим x-координатата на една браунова частица в момента от време t. В момента 0 частицата се е намира в началото, т.е. X0 = 0. Движението на частицата се дължи на случайните удари на молекулите на средата върху частицата, следователно {Xt,t О R +} е случаен процес.

От физически съображения е естествено да предполагаме, че:
1) {Xt} има п.с. непрекъснати траектории, т.к. положението на частицата е непрекъснато във времето.
2) {Xt} е еднороден процес, т.е. Xt+h-Xt = Xh, т.к. считаме, че средата е хомогенна и законите на д-е са неизменящи се с времето.
3) {Xt} има независими нараствания, т.к. считаме че ударите на молекулите с частицата за различни времена са независими.

Следващата теорема показва, че винеровия процес е естествен модел на процеса {Xt}.

Теорема 1 Нека за процеса {Xt,t О R +} е изпълнено:
1. X0 = 0 и E Xt = 0, за всяко t О R
2. Xt има независими нараствания (вж. Определение 1.8)
3. Xt+h-Xt = Xh (стационарност на нарастванията или еднородност)
4. {Xt} има п.с. непрекъснати траектории.
Тогава {Xt} е винеров процес.

Доказателство.(Неформално) Нека f(x,t) е плътността на Xt и fh(x) е плътността на Xt+h-Xt. По формулата за пълната вероятност:

f(x,t+h) =
у
х
R  
 f(x-D,t) fh(D) d D.
Да разгледаме апроксимациите:
f(x,t+h) » f(x,t)+h f
t
 (x,t)+o(h)
f(x-D,t) » f(x,t)-D f
x
 (x,t) + D2
2
 2 f
x2
 (x,t) + o(D2).
Тогава
f(x,t+h) =
у
х
R  
 ж
з
и 		f(x,t)-D f
x
 (x,t)+ D2
2
 2 f
x2
 (x,t) + o(D2) ц
ч
ш 		fh(D) dD »
» f(x,t)
у
х
R  
 fh(D)d D- f
x
 (x,t)
у
х
R  
 Dfh(D)d D+ 2 f
x2
у
х
R  
 D2
2
 fh(D) d D, но
тfh(D) d D = 1, тDfh(D) dD = E Xh = 0 и като заместим f(x,t+h) с апроксимацията му за малко h получаваме:
f(x,t)+ h f
t
 (x,t) » f(x,t) + 2 f
x2
у
х
R  
 D2
2
 fh(D) d D.
При h® 0 горното се превръща в точно равенство
f
t
 (x,t) = D 2 f
x2
 (x,t), където D =
lim
h® 0 
 1
h
у
х
D
2
 fh(D)dD
тук приемаме, че тo(D2)fh(D) = o(h).

Полученото диференциално уравнение за плътността се нарича у-е на дифузия. То също се нарича у-е на топлопроводността т.к. описва и разпределението на температурата при топлообмен. Константата D > 0 се нарича коефициент на дифузия.

Задачата на Коши за уравнението на дифузията е

к
к
к
к
к
к
к
f
t
 (x,t) = D 2 f
x2
 (x,t)
f(x,0) = d(x) е делта функцията, т.е. плътността на константата 0
решението \'и се дава от формулата на Поасон
f(x,t) = 1
(4 pD t)1/2
у
х
R  
 f(x-y,0) e-y2/4Dt d y = 1
(4 pD t)1/2
 e-x2/4Dt.
Което е плътност на нормално разпределение. [¯]
Задачи
1. Намерете ковариационната функция на стандартен винеров процес.
Отговор: cov(Ws,Wt) = E Wt Ws = min{t,s}.
2. Намерете E |Wt| за стандартен винеров процес Wt.
Отговор: E |Wt| = ([(2t)/( p)])1/2
3. За стандартен винеров процес Wt докажете, че за 0 Ј s < t
E (Wt|Ws) = Ws.
Това се нарича мартингално свойство за процеса.
Използвайте независимостта на нарастванията.
4. Покажете, че за 0 Ј s < t
E ((Wt-Ws)2| F sW) = t-s, където
F sW е s- алгебрата породена от {Wt,t Ј s}.
5. Нека hi,i = 1,ј са независими N(0,1) разпределени случайни величини и {ji(t),i = 1,ј, 0 Ј t Ј T} е ортонормиран базис в L2[0,T]. Ако fi(t) = т0t ji(s)d s, то процеса
bt = Ґ
е
 i = 1 
 hi fi(t)
е стандартен винеров. [¯]

Разглеждаме браунови частици в течност, която е в термодинамично равновесие. В сила е закона на статистическата механика

< mv2
2
 > = K T
2
 , където
K е константата на Болцман, T е абсолютната температура на средата, а < [(mv2)/ 2] > е средната кинетична енергия на частиците.

Разглеждаме движението на една браунова частица, нека x(t) е x- координатата \'и в t. Действащи сили:
(а) съпротивление при триене » -(6pha)[(d x)/( d t)], h- коеф. на триене, a- диаметър на частицата.
(б) флуктуационна сила X- резултат от случайните удари с молекулите на средата.
По закона на Нютон:

m d2 x
d t2
 = -6pha d x
d t
 + X
\Updownarrow

m x d2 x
d t2
 = -6pha x d x
d t
 + xX
(2.1)

\Updownarrow
1
2
 m d2 x2
d t2
 - 1
2
 m ж
з
и 		d x
d t
 ц
ч
ш 		2

 
 = -3pha d x2
d t
 + xX, но
1/2m ([(d x)/( d t)])2 = 1/2mv2 и тогава след усредняване по всички частици
m
2
 d2 < x2 >
d t2
 = -3pa d < x2 >
d t
 +K T + < xX > .
От хомогенността на средата и независимостта на x и X Ю < xX > = 0 тогава очевидно
d < x2 >
d t
 = K T
3 pha
 + C e-6pha t / m.
За голямо време експонентата е пренебрежима от което
< x(t)2 > - < x(0)2 > = K T
3 pha
 t.
Резултатът се съгласува с модела чрез винеров процес т.к. E x(t) = < x(t) > = 0 и тогава D x(t) = < x(t)2 > = D/2 t е линейна функция на времето. Този подход за описание на брауновото д-е, чрез стохастично диференциално уравнение (2.1) е предложен от Ланжевен (1908).

2.2  Недиференцируемост на Винеров процес.

Нека {Wt,t О R +} е стандартен винеров процес.

Лема 1 [Недиференцируемост] Диференчното частно

Wt+h-Wt
h
е разходящо при h® 0 относно сходимостта по разпределение.

Доказателство.
Очевидно [(Wt+h-Wt)/( h)] е N(0,1/|h|)- разпределена. Тогава за произволно k > 0 имаме:

Pr
{ к
к
к 		Wt+h-Wt
h
 к
к
к 		> k } = ж
з
и 		2
p
 ц
ч
ш 		1/2

 
 Ґ
у
х
k(h)1/2 
 e-y2/2

®
 
h® 0 
 1.

Това показва, че частното не е сходящо по разпределение, защото в противен случай масата на граничното разпределение в произволен краен интервал би била 0, което е невъзможно. [¯]

2.3  Винеров интеграл.

Това твърдение показва, че стохастичен Риман-Стилтесов интеграл ( т)
g(t)d Wt не може да се дефинира директно потраекторно, т.к. Wt е недиференцируем.
Пример:
Имаме разбиване на интервала [a,b] 0 Ј a = t0 < t1 < ј < tn = b с диаметър dn = min{ti-ti-1,i = 1,ј,n}. Нека ti = ati + (1-a) ti-1, за a О [0,1]. Разглеждаме Риман-Стилтесовите суми

Sn = n
е
 k = 1 
 Wti( Wti- Wti-1 ), тогава
E Sn = n
е
 k = 1 
 E WtiWti - E WtiWti-1 = n
е
 k = 1 
 min
{ti,ti} - min
{ti,ti-1} = a(b-a).
Това показва, че границата на Sn зависи от избора на ti.

Избираме a = 0, т.е. ti = ti-1 тогава определяме стохастичния интеграл


у
х
R  
 g(t) d Wt def
=
 
l.i.m.
dn® 0 
 n
е
k = 1 
 g(ti)(Wti-Wti-1),
като граница в L2 смисъл на сумите на Риман-Стилтес Sn (когато тя съществува).

Твърдение 1 Съществува

b
у
х
a 
 Wt d Wt = 1
2
 (Wb2 - Wa2 - (b-a)).

Доказателство.
За разбиването a = t0 < ј < tn = b имаме

Sn = n
е
k = 1 
 Wti-k (Wtk-Wtk-1) = 1
2
е
Wtk2 -DWk 2 - Wtk-12 =
= 1
2
 (Wb2-Wa2) - 1
2
 n
е
k = 1 
 DWk2, където DWi = Wti-Wti-1.
Ще покажем, че Jn = n
( е)
k = 1 
DWk2
( ®)
dn® 0 
b-a.
E Jn = n
е
k = 1 
 E DWk2 = n
е
k = 1 
 tk- tk-1 = b-a, а
тъй като DWi,i = 1,ј,n са независими, то
||Jn||L2 = D Jn = n
е
k = 1 
 D DWi2 = n
е
k = 1 
 ( E DWi4 - (Dti)2).
За съвместно нормално разпределени случайни величини е в сила:

Лема 2 Нека x1,x2,x3,x4 са съвместно нормално разпределени с E xi = 0,i = 1,ј,4. Тогава

E x1x2x3x4 = E x1 x2 E x3 x4 + E x1 x3 E x2 x4+ E x1 x4 E x2 x3.

Упътване:
Използвайте ортогонализация по Грам-Шмидт на x1,ј,x4. Под скаларно произведение се разбира ковариацията, т.е. < xi, xj > = E xi xj. За съвместно нормални сл. величини некорелираността е еквивалентна на независимост, а независимостта 2 по 2 е независимост в съвкупност. [¯]

Тогава E Di4 = 3 ( E DWi2)2 = 3(Dti)2, откъдето

D Jn = n
е
k = 1 
 2 (Dti)2 Ј dn n
е
k = 1 
 Dti = dn (b-a).
Но тогава при dn® 0 Ю D Jn ® 0, т.е.
l.i.m.
dn ® 0 
Jn = b-a [¯]

В детерминирания случай интегралът е тab f(t) d f(t) = 1/2(f(b)2-f(a)2), т.е. формулата на Нютон-Лайбниц се различава за стохастичните интеграли.



Начало на лекцията | Съдържание

File translated from TEX by TTH, version 2.10.
On 16 Jun 1999, 11:38.