НЕСТАНДАРТНИ ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА

    Ще предполагаме, че за някоя сигнатура Σ, съдържаща двуместния предикатен символ eq, са дадени нормална структура S=(Σ,C,I) и редица от затворени Σ-термове τ₀, τ₁, τ₂, τ₃, …, като C е множеството на естествените числа 0, 1, 2, 3, … и за всяко c от C стойността на терма τ_c в S е равна на c (от това условие е ясно, че термовете τ_c, отговарящи на различни стойности на c, трябва да бъдат различни помежду си).¹

    Да разширим сигнатурата Σ, като добавим към нея една нова константа β, и да означим със Σ^ полученото по този начин разширение на Σ, а с Γ множеството, състоящо се от всички затворени формули в сигнатура Σ, които са верни в S, и от формулите ¬(β≈τ₀), ¬(β≈τ₁), ¬(β≈τ₂), ¬(β≈τ₃), … (т.е. формулите ¬eq(β,τ₀), ¬eq(β,τ₁), ¬eq(β,τ₂), ¬eq(β,τ₃), … ). Лесно се вижда, че всяко крайно подмножество на Γ има модел със сигнатура Σ^ в предикатното смятане с равенство. И наистина, ако Δ е крайно подмножество на Γ, то ще съществува такова c от C, че съответната формула ¬(β≈τ_c) да не принадлежи на Δ, и при това положение в качеството на нормална структура, която е модел със сигнатура Σ^ за множеството Δ, можем да посочим обогатяването на S, което е със сигнатура Σ^ и в което константата β се интерпретира като c. Теоремата за компактност за предикатното смятане с равенство позволява да заключим, че и цялото множество Γ има модел със сигнатура Σ^ в предикатното смятане с равенство. Да разгледаме сега някоя нормална структура S^, която е със със сигнатура Σ^ и е модел за Γ. В известен смисъл, който сега ще разясним, структурата S^ може да се разглежда като една нестандартна система на естествените числа.

    Нека S^=(Σ^,C^,I^). За всяко естествено число c да означим с c^ стойността на терма τ_c в структурата S^. Така дефинираните елементи c^ образуват едно същинско подмножество на носителя C^ на S^. Като пример за елемент на C^, непринадлежащ на това подмножество, можем да посочим елемента β^{S^}  –  този елемент е различен от c^ за всяко c от C благодарение на това, че формулата ¬(β≈τ_c) от Γ е вярна в нормалната структура S^. Ще покажем, че елементите c^, отговарящи на различни естествени числа c, са различни помежду си. И наистина нека c и d са две различни естествени числа. Тогава затворената формула ¬(τ_c=τ_d) принадлежи на Γ и следователно е вярна в S^. Тъй като структурата S^ е нормална, това показва, че стойностите c^ и d^ в нея на термовете τ_c и τ_d са различни помежду си. И така, налице е взаимно еднозначно съответствие между естествените числа и съпоставените им по този начин елементи на множеството C^. При това с елементите c^ в определен смисъл може да се работи по същия начин както с естествените числа c, на които са съответни. По-точно, ако ω е n-местен функционален символ на Σ, където n е положително цяло число, то всеки път, когато дадени естествени числа c₁, …, c_n, d са свързани с равенството ω^S(c₁,…,c_n)=d, ще имаме и равенството ω^{S^}(c₁^,…,c_n^)=d^, понеже затворената формула ω(τ_c1,…,τ_cn)≈τ_d ще принадлежи на множеството Γ и поради това ще бъде вярна в S^. Аналогично се вижда, че ако ω е нулместен функционален символ на Σ и имаме равенството ω^S=d, където d е дадено естествено число, то ще имаме и равенството ω^{S^}=d^. Подобни неща важат и за интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи на Σ: всеки път, когато π е n-местен предикатен символ на Σ, n е положително цяло число и c₁, …, c_n са естествени числа, имаме равенството π^S(c₁,…,c_n)=π^{S^}(c₁^, …,c_n^), а за всеки нулместен предикатен символ π е в сила равенството π^S=π^{S^}. За да докажем това, най-напред отбелязваме, че за всяка затворена формула φ в сигнатура Σ е изпълнено равенството φ^S=φ^{S^}. Действително, ако лявата страна на това равенство е 1, то φ принадлежи на Γ и следователно е вярна в S^, тъй че и дясната страна ще бъде 1, а ако лявата страна е 0, то затворената формула ¬φ принадлежи на Γ и значи е вярна в S^, поради което и дясната страна ще бъде 0. За да получим оттук формулираната връзка между интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи, достатъчно е в качеството на φ да вземем формулата π(τ_c1,…,τ_cn) в първия случай и формулата π във втория. Ако отъждествим естествените числа със съответните им елементи на C^, бихме могли да считаме, че структурата S^ представлява едно разширение на структурата S, като в носителя C^ на S^ освен естествените числа има и други елементи (можем да ги наречем нестандартни естествени числа), но въпреки това свойствата на S и на S^, които се изразяват посредством затворени формули в сигнатура Σ са едни и същи (например ако едно уравнение, на което двете страни се представят чрез термове в сигнатура Σ, няма решение в структурата S, то няма да има решение и в структурата S^).

    В заключение нека отбележим, че с незначителни изменения горните разглеждания могат да се направят и в по-общия случай, когато е дадена произволна нормална структура S с безкраен носител, на който всеки елемент е стойност на някой затворен терм.²

Бележки

    ² При нашия подход към предикатното смятане това обобщение не е особено съществено, защото и в споменатия по-общ случай носителят на S би се оказал изброим. Възможен е обаче и такъв друг подход, при който да е допустимо да има неизброимо много различни затворени термове, и тогава вече обобщението ще обхваща многобройни случаи, съществено различни от разгледания.