Задачи към "Разширение и сечение на секвенции"

    2. Нека n е дадено естествено число, G₀, G₁, ..., G_n, D₀, D₁, ..., D_n са крайни множества от формули, а j₁, ..., j_n са формули. За секвенцията G₀ИG₁И...ИG_n-:D₀ИD₁И...ИD_n покажете, че може да се получи чрез n прилагания на сечение
          а) от секвенцията G₀И{j₁,...,j_n}-:D₀ и секвенциите G_i-:D_iИ{j_i}, i=1,...,n;
          б) от секвенцията G₀-:D₀И{j₁,...,j_n} и секвенциите G_iИ{j_i}-:D_i, i=1,...,n.

    3. Нека две секвенции Gў-:Dў и GІ-:DІ имат съществено сечение. Покажете, че същественото им сечение може да се напише във вида (Gў\DІ)ИGІ-:DўИ(DІ\Gў).

    4. Докажете изказаното в основния текст твърдение, че ако една секвенция, която е сечение на две дадени секвенции, не е тривиално тъждествено вярна и не е разширение на никоя от двете, то тя е тяхно съществено сечение.

    5. Нека секвенцията G-:D е сечение на две секвенции, някоя от които е тривиално тъждествено вярна. Докажете, че G-:D е разширение на другата от двете секвенции или е тривиално тъждествено вярна (следователно G-:D не е съществено сечение на тези две секвенции).

    6. Докажете, че ако една секвенция е сечение на две тривиално тъждествено верни секвенции, тя също е тривиално тъждествено вярна.

    7. Нека M е някое множество от секвенции. Докажете, че всяка секвенция, c-изводима от M, е разширение на някоя секвенция, ec-изводима от M, или е тривиално тъждествено вярна. Използвайте това, за да докажете, че всяко c-противоречиво множество от секвенции е ec-противоречиво (следователно свойствата c-противоречивост и ec-противоречивост на едно множество от секвенции са равносилни).

    8. Нека M е множество от секвенции, а G° и D° са крайни множества от формули. Докажете, че при произволен избор на секвенцията G-:D, c-изводима от множеството MИ{G°-:D°}, всяка секвенция, имаща вида G-:DИ{c}, където cОG°, или вида GИ{c}-:D, където cОD°, е разширение на някоя секвенция, c-изводима от M, или е тривиално тъждествено вярна.

    9. Нека M е множество от секвенции, което не е c-противоречиво, а G° и D° са такива крайни множества от формули, че множеството MИ{G°-:D°} е c-противоречиво. Докажете, че всички секвенции от вида -:c, където cОG°, и всички секвенции от вида c-:, където cОD°, са ec-изводими от M.

    10. Нека M е множество от секвенции, а G° и D° са такива крайни множества от формули, че всички секвенции от вида -:c, където cОG°, и всички секвенции от вида c-:, където cОD°, са c-изводими от M. Докажете, че множеството MИ{G°-:D°} е c-противоречиво.

    11. Нека M е такова множество от секвенции, че всички секвенции от M са с непразни заключения или всички секвенции от M са с непразни предпоставки. Докажете, че M не е c-противоречиво.

    12. Като използвате пример 1 от основния текст (вкл. означението M от този пример) и задачи 9 и 11, покажете, че:
          а) секвенцията (9) от споменатия пример е ec-изводима от множеството M\{aіf(a)-:};
         б) от множеството M\{-:aіf(f(a))} е ec-изводима секвенцията aіf(f(a))-:.
Установете същите твърдения и директно.

Последно изменение: 15.03.1999 г.