Един терм се нарича затворен, ако множеството на променливите му е празно (понякога затворените термове се наричат още основни). От тази дефиниция и дефиницията за множество на променливите на един терм следва, че константите са затворени термове, а променливите не са. Следва още такова твърдение: ако τ = ω(τ₁,…,τ_n), където n е положително цяло число, ω е n-местен функционален символ и τ₁, …, τ_n са термове, то термът τ е затворен точно тогава, когато е затворен всеки от термовете τ₁, …, τ_n. Току-що отбелязаните следствия от дефиницията позволяват на понятието затворен терм да се даде и директна индуктивна дефиниция  –  без да се използва понятието за множество на променливите на един терм. При нея, грубо казано, един терм се нарича затворен, ако той може да се получи от една или повече константи чрез някакъв (евентуално нулев) брой пъти образуване на съставен терм. Точната формулировка на дефиницията е следната: затворени термове са константите и всички думи от вида ω(τ₁,…,τ_n), където n е положително цяло число, ω e n-местен функционален символ и τ₁, …, τ_n са затворени термове. Чрез индукция, съобразена с тази дефиниция, веднага се вижда, че затворените термове в смисъл на нея са термове, които са затворени в смисъл на първата (т.е. имат празно множество на променливите). Обратното твърдение пък може да се докаже, като чрез индукция, съобразена с индуктивната дефиниция за терм, се докаже, че за всеки терм τ е в сила следното условно твърдение: ако τ е затворен в смисъл на първата дефиниция, той е затворен и в смисъл на втората.

      Забележка. За да съществува поне един затворен терм при дадена сигнатура, необходимо и достатъчно е в нея да има поне една константа (достатъчността е ясна от казаното по-горе, а необходимостта може да се установи например като се докаже индуктивно, че за всеки терм τ е в сила следното твърдение: термът τ има поне една променлива или в сигнатурата има поне една константа). При някои от въпросите, които ще разглеждаме по-нататък, ще правим предположение за съществуване на поне една константа в сигнатурата.

      От лемата за базисна роля на променливите на един терм се вижда, че ако τ е затворен терм, а S е структура, то за всеки две оценки v и v' в S на променливите имаме равенството τ^S,v=τ^S,v' (тъй като в този случай по тривиални причини v и v' съвпадат върху множеството VAR(τ)). С други думи стойността на един затворен терм в дадена конфигурация (S,v) не зависи от избора на оценката v, а може да зависи само от избора на структурата S. Приемаме за произволен затворен терм τ и произволна структура S да означаваме с τ^S независещата от избора на оценката v в S стойнoст τ^S,v; ще я наричаме стойност на τ в S. В случая, когато τ е константа, означението τ^S имаше смисъл и досега (то означаваше съответния на тази константа чрез интерпретиращото съответствие на структурата S елемент на носителя на S). Дефиницията за стойност на терм в дадена конфигурация показва, че новият смисъл, който даваме на означението сега, се съгласува със стария в споменатия случай. От същата дефиниция получаваме още следното: ако τ = ω(τ₁,…,τ_n), където n е положително цяло число, ω е n-местен функционален символ и τ₁, …, τ_n са затворени термове, то τ^S = ω^S(τ₁^S,…,τ_n^S). Това равенство дава възможност за директна индуктивна дефиниция за стойност на затворен терм в структура  –  без да се използва понятието за стойност на произволен терм в конфигурация.

      Една атомарна формула се нарича затворена (или основна), ако е празно множеството на нейните променливи. От тази дефиниция и дефиницията за множество на променливите на една атомарна формула следва, че нулместните предикатни символи са затворени атомарни формули, а ако φ = π(τ₁,…,τ_n), където n е положително цяло число, π е n-местен предикатен символ и τ₁, …, τ_n са термове, то формулата φ е затворена точно тогава, когато е затворен всеки от термовете τ₁, …, τ_n.

      От лемата за базисна роля на променливите на една атомарна формула се вижда, че ако φ е затворена атомарна формула, а S е структура, то за всеки две оценки v и v' в S на променливите имаме равенството φ^S,v=φ^S,v', т.е. стойността на една затворена атомарна формула в дадена конфигурация (S,v) не зависи от избора на оценката v, а може да зависи само от избора на структурата S. Приемаме за произволна затворена атомарна формула φ и произволна структура S да означаваме с φ^S независещата от избора на оценката v в S стойност φ^S,v; ще я наричаме стойност на φ в S. В случая, когато φ е нулместен предикатен символ, означението φ^S имаше смисъл и досега (то означаваше съответния на този символ чрез интерпретиращото съответствие на структурата S елемент на множеството {0,1}). Дефиницията за стойност на атомарна формула в дадена конфигурация показва, че новият смисъл, който даваме на означението сега, се съгласува със стария в споменатия случай. От същата дефиниция получаваме още, че ако φ = π(τ₁,…,τ_n), където n е положително цяло число, π е n-местен предикатен символ и τ₁, …, τ_n са затворени термове, то φ^S = π^S(τ₁^S,…,τ_n^S).

      За една затворена атомарна формула φ ще казваме, че е вярна (или изпълнена) в дадена структура S, ако е изпълнено равенството φ^S = 1. За да изразим, че φ е вярна в структурата S, ще си служим и с означението S ⊨ φ . Чрез означението S ⊭ φ ще изразяваме пък това, че φ не е вярна в структурата S, т.е. че имаме равенството φ^S = 0.

      Очевидно е, че за една затворена атомарна формула φ изискването φ да бъде тъждествено вярна в дадена структура S и изискването φ да бъде изпълнима в S са равносилни с изискването φ да бъде вярна в S. Да отбележим още, че ако една затворена атомарна формула следва в S от дадено множество от затворени атомарни формули, верни в S, тя също е вярна в S.

Последно изменение: 8.03.2010 г.