Знаем, че един литерал е затворен точно тогава, когато е празно множеството на неговите променливи, а то съвпада с множеството на свободните променливи на литерала. Следователно един литерал е затворен точно тогава, когато е празно множеството на свободните му променливи. При произволни формули приемаме това свойство за дефиниционно свойство на понятието затвореност, т.е. ще наричаме една формула затворена, ако е празно множеството на нейните свободни променливи.

      Пример 1. Ако m е триместен предикатен символ, то формулата ∀X ∀Y ∃Z m(X,Y,Z) е затворена.

      От току-що дадената дефиниция и дефиницията за множество на свободните променливи на една формула следват такива твърдения:
          1. Отрицанието на една формула е затворено точно тогава, когато самата формула е затворена.
          2. Ако една формула е конюнкция или дизюнкция на дадени две формули, тя е затворена точно тогава, когато тези две формули са затворени,

      Горните две твърдения позволяват да се даде за случая на безкванторни формули директна индуктивна дефиниция за затвореност  –  без да се използва понятието за множество на свободните променливи на една формула. В случая на произволни формули обаче даването на такава дефиниция се препятства от обстоятелството, че при построяването на една затворена формула може да бъде използувана и някоя преди това построена незатворена формула (например при построяването на затворената формула от пример 1 последователно са използвани незатворените формули m(X,Y,Z), ∃Z m(X,Y,Z)) и ∀Y ∃Z m(X,Y,Z)).

      От лемата за базисна роля на свободните променливи на една формула се вижда, че ако φ е затворена формула, а S е структура, то за всеки две оценки v и v' в S на променливите имаме равенството φ^S,v = φ^S,v', т.е. стойността на една затворена формула в дадена конфигурация (S,v) не зависи от избора на оценката v, а може да зависи само от избора на структурата S. Приемаме за произволна затворена формула φ и произволна структура S да означаваме с φ^S независещата от избора на оценката v в S стойност φ^S,v; ще я наричаме стойност на φ в S. В случая, когато φ е затворен литерал, означението φ^S имаше смисъл и досега. Дефиницията за стойност на формула в дадена конфигурация показва, че новият смисъл, който даваме на означението сега, се съгласува със стария в споменатия случай. От същата дефиниция се вижда още, че при всеки избор на затворените формули φ и ψ и на структурата S са в сила равенствата

(¬φ)S	=	1 − φS,
(φ & ψ)S	=	min{φS,ψS,v},
(φ ∨ ψ)S	=	max{φS,ψS}.

      Тези равенства позволяват да се даде и директна индуктивна дефиниция за стойност на затворена безкванторна формула в дадена структура  –  без да се използва понятието за стойност на една формула в дадена конфигурация.

      За една затворена формула φ ще казваме, че е вярна в дадена структура S, ако е изпълнено равенството φ^S = 1.

      Пример 2. Затворената формула от пример 1 е вярна в дадена структура S точно тогава, когато при всеки избор на два елемента на нейния носител съществува наредена тройка от множеството на истинност на предиката m^S, на която избраните два елемента са съответно нейни пръв и втори член. И наистина, нека v е произволна оценка в S. Верността на разглежданата формула в S е равносилна с нейната вярност в S при оценката v. Като използваме това, последователно виждаме, че верността на въпросната формула в S е равносилна с всяко от следните условия, където D е носителят на S:
        a) за всеки елемент i на D формулата ∀Y ∃Z m(X,Y,Z) е вярна в S при оценката v[Z→i];
        б) за всеки два елемента i и j на D формулата ∃Z m(X,Y,Z) е вярна в S при оценката v[X→i][Y→j];
        в) за всеки два елемента i и j на D съществува такъв елемент k на D, че формулата m(X,Y,Z) е вярна в S при оценката v[X→i][Y→j][Z→k].
От друга страна, верността на формулата m(X,Y,Z) в S при оценката v[X→i][Y→j][Z→k] е равносилна с принадлежност на тройката (i,j,k) към множеството на истинност на предиката m^S.

      Трите равенства, за които стана дума преди дефиницията за вярност на затворена формула в дадена структура S, осигуряват, че отрицанието на една затворена формула е вярно в S точно тогава, когато самата формула не е вярна в S, и че конюнкцията на две затворени формули е вярна в S точно тогава, когато в S са верни тези две формули, а дизюнкцията на въпросните формули е вярна в S точно тогава, когато в S е вярна някоя от тях.

Последно изменение: 1.08.2008 г.