Забележка 1. Когато по-нататък конкретни знаци от гореспоменатата азбука и конкретни думи, съставени от такива знаци, се срещат в текста в ролята именно на такива знаци и думи (а не изпълняват някаква друга роля), за избягване на недоразумения ще ги изобразяваме с прав шрифт с фиксирана широчина на буквите (машинописен шрифт). За по-голяма отчетливост шрифтът ще бъде и получерен (получерен машиношисен шрифт вече сме използвали с подобна цел в някои примери от предходните въпроси). Нека например f е функцията, която преобразува всяка дума ω в по-дългата дума, получена от ω чрез заграждането й в скоби. Тогава можем да напишем, че е в сила например равенството

      Забележка 2. Има случаи, когато използването на различни шрифтове е невъзможно или затруднително. В такива случаи можем да си послужим с един друг начин, а именно заграждане в кавички, за да отбележим това, че на определено място дадеии знаци означават не нещо друго, а самите себе си. При използване на този начин равенствата от горната забележка могат да се запишат по следния начин:

      За коя да е да е дума ω ще означаваме с l(ω) и с r(ω) съответно броя на участията на лява кръгла скоба и броя на участията на дясна кръгла скоба в ω. Ще казваме, че думата ω е уравновесена (или балансирана), ако е в сила равенството l(ω)=r(ω) и за всяко начало θ на ω имаме неравенството l(θ)≥r(θ) (разбира се достатъчно е да поставим последното изискване само за непразните начала θ на ω, които са различни от ω).

      Очевидно думите, в които не участват скоби, (в частност всички думи над основната азбука на Пролог) са уравновесени. Свойството уравновесеност се запазва при заграждане в скоби, т.е. за всяка уравновесена дума  ω  думата  (ω)  също е уравновесена; при това за всяко нейно непразно начало θ, което е различно от нея, имаме даже строгото неравенство l(θ)>r(θ). Действително, нека ω е уравновесена дума. Тогава

      Забележка 3. Второто изискване в дефиницията за уравновесеност на една дума ω, според което трябва за всяко начало θ на ω да имаме неравенството l(θ)≥r(θ), може да се замени с изискването за всеки край τ на ω да е в сила неравенството l(τ)≤r(τ). Това следва от обстоятелството, че ако е налице първото изискване в дефиницията, т.е. равенството l(ω)=r(ω), то винаги, когато имаме равенството ω=θτ, ще имаме и равенството l(θ)+l(τ)=r(θ)+r(τ), поради което неравенството l(θ)≥r(θ) ще бъде еквивалентно на неравенството l(τ)≤r(τ).

      Една дума ще наричаме силно уравновесена, ако тя е уравновесена и не съществува нейно начало θ, завършващо с разделител, за което да е в сила равенството l(θ)=r(θ). Силно уравновесените думи ще наричаме още стандартни изрази.

      Забележка 4. Да разгледаме произволна дума от вида  ω₁δω₂ ,  където δ е разделител, а ω₁ и ω₂ са уравновесени думи. Тя е уравновесена, понеже е конкатенация на уравновесени думи, но не е силно уравновесена, защото l(ω₁δ)=r(ω₁δ), въпреки че ω₁δ е нейно начало, завършващо с разделител. По този начин виждаме, че не всяка уравновесена дума е силно уравновесена.

      Очевидно всички думи над основната азбука на Пролог са силно уравновесени и за всяка уравновесена дума  ω  думата  (ω)  е силно уравновесена (тя изобщо не притежава непразно начало θ, различно от нея, за което да е в сила равенството l(θ)=r(θ) ). И силната уравновесеност се запазва при конкатенация. Действително, нека ω=ω₁ω₂, където ω₁ и ω₂ са силно уравновесени думи. Тогава думата ω е уравновесена като конкатенация на две уравновесени думи и остава да покажем само, че не съществува нейно начало θ, завършващо с разделител, за което да е в сила равенството l(θ)=r(θ). Да допуснем, че има такова начало θ. Понеже ω₁ е силно уравновесена, не е възможно θ да е начало на ω₁. Поради това θ=ω₁τ, където τ е някое непразно начало на ω₂. Ще имаме равенствата

      Забележка 5. Второто изискване в дефиницията за силна уравновесеност на една дума ω, според което не бива в никое начало на ω, завършващо с разделител, да имаме равен брой участия на леви и десни скоби, може да се замени с изискването такъв равен брой да не е налице в никой край на ω, започващ с разделител. Това следва от обстоятелството, че ако ω е уравновесена дума и имаме равенството  ω=φδψ ,  където δ е разделител, то ще имаме и равенството l(φ)+l(ψ)=r(φ)+r(ψ), поради което равенството l(φδ)=r(φδ) ще бъде еквивалентно на равенството l(δψ)=r(δψ) (последните две равенства са съответно еквивалентни на равенствата l(φ)=r(φ) и l(ψ)=r(ψ) ).

      За формалния език, който предстои да построим, ще бъдат важни някои въпроси за еднозначен прочит на сложни изрази, получени чрез съчетаване на по-прости. За решаването на тези въпроси ще ни бъде от полза едно свойство на силната уравновесеност, към разглеждането на което сега преминаваме.

      В основата на това свойство лежи следното обстоятелство: никоя дума от вида  δω ,  където δ е разделител, а ω е силно уравновесена дума, не е край на друга дума от същия вид  (и аналогично, никоя дума от вида  ωδ ,  където ω е силно уравновесена дума, а δ е разделител, не е начало на друга дума от същия вид). За да се убедим във верността на първото от току-що изказаните две твърдения (второто се доказва аналогично), да допуснем, че за някои два разделителя δ₁ и δ₂ и някои две силно уравновесени думи ω₁ и ω₂ думата δ₁ω₁ е край на думата δ₂ω₂, като при това думите δ₁ω₁ и δ₂ω₂ са различни. Тогава δ₁ω₁ ще бъде край на ω₂ и значи (поради силната уравновесеност на ω₂) числата l(δ₁ω₁) и r(δ₁ω₁) не могат да бъдат равни. Това обаче противоречи на уравновесеността на ω₁, тъй като въпросните две числа са съответно равни на l(ω₁) и r(ω₁).

      Свойството, за което споменахме, може да се изкаже по следния начин.

      Лема за еднозначното разпадане. Нека n и n′ са положителни цели числа и имаме равенството

      Доказателство. Без ограничение на общността можем да предполагаме, че n≥n′. При това допълнително предположение ще си послужим с индукция относно n. При n=1 неравенството n≥n′ гарантира, че и n′=1, а в такъв случай заключението на доказваното твърдение следва от предположението по тривиален начин. Да предположим сега, че за дадена положителна цяла стойност на n доказваното твърдение е вярно и че за дадено положително цяло число n′, ненадминаващо n+1, дадени силно уравновесени думи  ω₁, ω₂, …, ω_n, ω_n+1, ω₁′, ω₂′, …, ω_n′−1′, ω_n′′  и дадени разделители  δ₁, δ₂, …, δ_n, δ₁′, δ₂′, …, δ_n′−1′  е в сила равенството