Твърдение 1. Нека Δ е произволно множество от дизюнкти. Тогава:
      А. Всяка структура, която е модел за Δ, е модел и за Δ°;
      Б. Всяка ербранова структура, която е модел за Δ°, е модел и за Δ.

    Доказателство. Казаното в точка А е в сила, защото ако една структура е модел за Δ, тя е модел и за всяко множество от частни случаи на дизюнкти от Δ, в частност  –  за множеството Δ° (това е така, защото, както знаем от въпроса „Прилагане на субституция към литерал и към дизюнкт“, всички частни случаи на дизюнкт, валиден в дадена структура, също са валидни в нея). За да се убедим в казаното в точка Б, да предположим, че дадена ербранова структура S е модел за множеството Δ°. Нека δ е произволен дизюнкт от Δ, а v е произволна оценка в S. Да означим със σ такава субституция, която съвпада с оценката v върху множеството на променливите на δ, и да разгледаме частния случай δσ на δ. Дизюнктът δσ принадлежи на множеството Δ° и значи е валиден в структурата S. Значи за някой литерал λ от δ затвореният литерал λσ е верен в S. Оттук сега ще извлечем заключението, че литералът λ е верен в S при оценката v. Той е някоя атомарна формула φ или нейното отрицание, като субституцията σ съвпада с оценката v върху множеството на променливите на φ (понеже всяка от тях е променлива на δ). Лемата за свеждане на вярност при оценка към вярност на затворен частен случай (вж. въпроса „Ербранови структури“) позволява да твърдим, че частният случай φσ на φ е затворен и е в сила равенството φ^S,v = (φσ)^S. Оттук, разглеждайки поотделно случая, когато λ е φ, и случая, когато λ е отрицанието на φ, получаваме, че λ^S,v = (λσ)^S и следователно λ^S,v = 1. С това показахме, че при всеки избор на дизюнкт δ от Δ и на оценка v в S някой литерал от δ е верен в S при оценката v, т.е. всеки дизюнкт от Δ е валиден в S.  _□

    Забележка. Ако в сигнатурата Σ няма нито една константа, точка Б от твърдение 1 става безсъдържателна, защото при такава сигнатура изобщо не съществуват ербранови структури.

    Твърдение 2. Нека в сигнатурата Σ има поне една константа и нека Δ е произволно множество от дизюнкти. Тогава следните четири условия са равносилни:
      а) съществува структура, която е модел за Δ;
      б) съществува структура, която е модел за Δ°;
      в) съществува ербранова структура, която е модел за Δ°;
      г) съществува ербранова структура, която е модел за Δ.

    Доказателство. От твърдение 1 е ясно, че от условието а) следва условието б), а от условието в) следва условието г). Тъй като от условието г) очевидно следва условието а), достатъчно е да покажем, че от условието б) следва условието в). Ще използваме втората основна лема за ербрановите структури (пак от въпроса „Ербранови структури“). Нека дадена структура S е модел за множеството Δ°. Като приложим споменатата лема, виждаме, че съществува ербранова структура S със същото множество на верните затворени атомарни формули както S. Ясно е, че всеки затворен литерал, който е верен в структурата S ще бъде верен и в структурата S (проверката на това твърдение се прави, като се разгледат поотделно случаите на положителен и на отрицателен литерал). Щом S е модел за Δ°, сред елементите на всеки дизюнкт от Δ° има литерал, верен в S, а той според току-що казаното ще бъде верен и в S. С това е показано, че ербрановата структура S също е модел за Δ°.  _□

    Резултатите от настоящия въпрос могат да се използват, за да се изследва дали дадени множества от дизюнкти притежават модел. Ще илюстрираме това с два примера.

    Пример 1. Нека Δ е множеството от двата дизюнкта

    Пример 2. Нека Δ е множеството от трите дизюнкта

Последно изменение: 25.07.2008 г.