Една структура S ще наричаме ербранова, ако са изпълнени следните условия: 
      1. Носител на структурата S е Ербрановият универсум за нейната сигнатура.
      2. За всяка константа ω от сигнатурата на S е в сила равенството ω^S = ω, а за всяко положително цяло число n и всеки n-местен функционален символ ω от сигнатурата на S при всеки избор на елементи τ₁, …, τ_n на носителя на S стойността на функцията ω^S за n-орката (τ₁,…,τ_n) е равна на терма ω(τ₁,…,τ_n).

    Тъй като носителят на една структура не бива да е празен, ясно е, че ербранова структура с дадена сигнатура може да съществува само при условие, че сигнатурата има поне една константа. От друга страна, когато това условие е изпълнено за дадена сигнатура, то можем да построим ербранова структура с тази сигнатура по следния начин: в съответния Ербранов универсум дефинираме функциите, интерпретиращи функционалните символи, така, че да е изпълнено изискването 2 от горната дефиниция, а на предикатните символи съпоставяме произволни предикати с нужния брой аргументи.

    Първа основна лема за ербрановите структури. Нека S е произволна ербранова структура. Тогава τ^S = τ за всеки затворен терм τ.

     Доказателство. Ще използваме индукция, основаваща се на обстоятелството, че всеки затворен терм може да се получи от константи чрез някакъв брой пъти образуване на съставен терм. А именно, ще покажем, че свойството, което доказваме, е налице за константите и се запазва при образуване на съставен терм. Ako τ е константа, то равенството τ^S = τ се получава направо от втората точка на дефиницията за ербранова структура. Да предположим сега, че даден терм τ има вида ω(τ₁,…,τ_n), където τ₁, …, τ_n са затворени термове и τ_i^S = τ_i при i=1,…,n. Тогава

    Следствие 1. При предположенията на горната лема всеки два различни затворени терма (ако съществуват такива) имат различни стойности в S.

    Забележка 1. Уговорката, добавена в скоби в горното следствие, е по повод на това, че би могло да се случи да съществува само един затворен терм. Положението ще бъде такова точно тогава, когато в сигнатурата има една константа и няма нито един друг функционален символ (това е всъщност случаят, когато Ербрановият универсум се състои само от един елемент).

    Следствие 2. Нека S е произволна ербранова структура, n е положително цяло число и π е n-местен предикатен символ от сигнатурата на S. Тогава при всеки избор на затворени термове τ₁, …, τ_n стойността на атомарната формула π(τ₁,…,τ_n) в S е равна на π^S(τ₁,…,τ_n).

    Втора основна лема за ербрановите структури. Нека Σ е сигнатура с поне една константа, а Γ е дадено множество от затворени атомарни формули при тази сигнатура. Тогава сред ербрановите структури със сигнатура Σ съществува точно една със свойството, че в нея са верни онези и само онези затворени атомарни формули, които принадлежат на Γ.

    Доказателство. Нека S е произволна ербранова структура със сигнатура Σ. С помощта на следствие 2 се вижда, че структурата S ще има изказаното в лемата свойство точно тогава, когато са изпълнени следните две условия: а) за всяко положително цяло число n и всеки n-местен предикатен символ π на Σ множеството на истинност на предиката π^S се състои точно от онези n-орки (τ₁,…,τ_n) от затворени термове, за които атомарната формула π(τ₁,…,τ_n) принадлежи на Γ; б) равенството π^S = 1 е в сила точно за онези нулместни предикатни символи на Σ, които принадлежат на Γ. Лесно е да се види обаче, че със сигнатурата Σ съществува точно една ербранова структура S, за която са изпълнени условията а) и б). Действително, дефиницията за ербранова структура определя еднозначно носителя на структурата и интерпретациите на функционалните символи, а пък условията а) и б) определят еднозначно интерпретациите на предикатните символи.  _□

    Забележка 2. Без предположението, че сигнатурата Σ има поне една константа, горната лема разбира се престава да е в сила, защото при липса на константа в Σ изобщо не съществува ербранова структура със сигнатура Σ. Все пак едно по-слабо твърдение в духа на тази лема е в сила и в случая, когато Σ е без нито една константа. То е следното: за всяко множество Γ от затворени атомарни формули съществува структура S със свойството,че в S са верни онези и само онези затворени атомарни формули, които принадлежат на Γ. Това е така, защото при липса на константи в сигнатурата всяка затворена атомарна формула е нулместен предикатен символ, а ние сме в състояние да построим структура с какви да е отнапред дадени интерпретации 0 или 1 на нулместните предикатни символи (носител на структурата може да бъде произволно избрано непразно множество и няма значение как конкретно ще се интерпретират предикатните символи с ненулев брой аргументи и функционалните символи).

    По-нататък ще ни бъде нужна и следната лема, отнасяща се за ербранови структури.

    Лема за свеждане на вярност при оценка към вярност на затворен частен случай. Нека S=(Σ,D,I) е ербранова структура, v е оценка на променливите в S, φ е атомарна формула при сигнатурата Σ, а σ е такава субституция при тази сигнатура, че за всяка променлива ξ на φ е в сила равенството v(ξ) = σ(ξ). Тогава формулата φσ е затворена и е в сила равенството φ^S,v = (φσ)^S.

    Доказателство. Тъй като v(ξ) принадлежи на D при всеки избор на променливата ξ, а елементите на D са затворени термове при сигнатурата Σ, всички термове σ(ξ), съответстващи на променливи ξ на φ, се оказват затворени и това по следствието в края на въпроса „Субституции“ позволява да заключим, че наистина формулата φσ е затворена. С помощта на теоремата за стойността на резултата от прилагане на субституция към терм или атомарна формула получаваме, че

Последно изменение: 28.04.2009 г.